As Equações Diferenciais dividem-se em diversos tipos, sendo as mais simples as edo's (equações diferenciais ordinárias), em que a variável dependente depende somente de somente uma variável independente. Dentro desta categoria ainda podemos ter as equações lineares ou não-lineares.
As lineares são as que possuem solução mais "comportada" e tem sempre a mesma forma básica. Um subgrupo importante dentro das edo's lineares são as edo's lineares com coeficientes constantes e são bastante comuns em problemas simples da engenharia elétrica, geralmente estudadas na disciplina de "sinais e sistemas" ou "controle de processos". Em tais edo's é comum a resolução pela transformada de Laplace.
Uma edo linear de coeficientes constantes tem a forma:
...+ ay''' + by'' + cy' + dy = ...+ ex'' + fx' + gx
Nesta equação acima o y não é função de x, mas sim de t, assim:
y = y(t) e x = x(t)
Em "controle de processos" a variável y é dita saída, enquanto a variável x é dita entrada do sistema.
Para resolver a equação diferencial pela transformada de Laplace, são utilizadas as relações:
Estas expressões são aplicadas também sobre as derivadas de x.
A função de transferência também pode ser obtida a partir da transformada de Laplace quando as condições iniciais são nulas. Condições iniciais nulas significam que o sistema não possui energia acumulada, ou seja os capacitores tem tensão inicial igual a zero, os indutores tem corrente inicial igual a zero, as molas estão em repouso, etc. Neste caso:
Assim,
...+ ay''' + by'' + cy' + dy = ...+ ex'' + fx' + gx
L{...+ ay''' + by'' + cy' + dy} = L{...+ ex'' + fx' + gx}
... + as³Y(s) + bs²Y(s) + csY(s) + dY(s)= ... + es²X(s) + fsX(s) + gX(s)
(... + as³ + bs² + cs + d ) Y(s) = (... + es² + fs + g ) X(s)
Y(s) = ... + es² + fs + g
X(s) ... + as³ + bs² + cs + d
Vejamos um exemplo.
Qual a função de transferência que relaciona Vo com Vi? Qual a forma da função Vo se a entrada é uma senóide vi = 5sen (200t) ?
Solução: A relação entre a entrada e a saída no ampop ideal, na configuração de amplicador inversor é dada por:
Vo = - Zo
Vi Zi
Vo = - Zo
Vi Zi
Vo = - 0,1 s - 10k
Vi 0,1s +20k
Vi 0,1s +20k
Vo = - 0,1 s - 10k . Vi
0,1s +20k
Vo = - 0,1 s - 10k . L{vi}
0,1s +20k
Vo = - 0,1 s - 10k . L{5sen(200t)}
0,1s +20k
Vo = - 1k.s - 100M
(s +200k) (s²+40000)
Vi Zi
No caso acima a impedância de saída é dada por:
Zo = 10k
O capacitor no dominio da frequência tem reatância dada por:
Zc = 1 = 1
sC s.1n
A impedância de entrada será dada por:
Zi = 10k + 10k // 1
s. 1n
Zi = 10k + 10k
s.10u + 1
Zi = 0,1s + 20k
s.10u + 1
A Função de transferência será dada pela expressão:
Vo = - Zo
Vi Zi
Vo = - 0,1 s - 10k
Vi 0,1s +20k
A expressão acima pode também ser escrita na forma de equação diferencial:
Vo(s) (0,1s +20k) = Vi(s) (- 0,1 s - 10k)
0,1s.Vo(s) + 20k. Vo(s) = -0,1s.Vi(s) - 10k.Vi(s)
0,1.vo' + 20k.vo = -0,1.vi' - 10k.vi
Para encontrarmos a expressão de Vo no tempo, usamos a função de transferência:
Vo = - 0,1 s - 10kVi 0,1s +20k
Vo = - 0,1 s - 10k . Vi
0,1s +20k
Mas sabemos que a entrada é vi = 5sen(200t), assim, Vi = L{vi},
0,1s +20k
Vo = - 0,1 s - 10k . L{5sen(200t)}
0,1s +20k
A transformada de laplace do seno é:
Assim,
Vo = - 0,1 s - 10k . 5. 200
0,1s +20k s² + 40000
Vo = - 100s - 10M
(0,1s +20k) (s²+40000)Vo = - 1k.s - 100M
(s +200k) (s²+40000)
Decompondo o segundo membro em frações parciais fica:
Para efetuar a transformada inversa de laplace do primeiro termo, observe que,
E a transformada de Laplace inversa deste primeiro termo será:
O transformada inversa do segundo termo pode ser encontrada assim,
A função vo(t) será da forma:
O termo exponencial pode ser desprezado nesta expressão, já que é muito próximo de zero, assim,
É isso por hoje, valeu aí, comentem, se houver algum erro me digam para que eu possa corrigir e até a próxima.
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